ორობითი სისტემა, მისი გამოთვლის მეთოდები ! By Mkr!

ორობითი რიცხვები

თვლა ორობით რიცხვებში ემყარება იმავე პრინციპს, რასაც ნებისმიერი სხვა თვლის სისტემა გვთავაზობს. თვლა იწყება ციფრიდან 0 და ყოველი შემდეგი რიცხვი მიიღება ინკრემენტაციის (საფეხურებრივი ზრდის) გზით. კერძოდ, თუ ორობითი რიცხვის ყველა პოზიციაზე 1-ანებია, მაშინ ეს უკანასკნელები 0-ებად იქცევიან და მარცხნიდან ემატება 1-ის ტოლი ახალი პოზიცია, წინააღმდეგ შემთხვევაში მარჯვენა განაპირა პოზიციიდან მოყოლებული ყველა 0 თანმიმდევრობით იქცევა 1-ად:
0 - შემდეგ საფეხურზე ეს 0 გადაიქცევა 1-ად
1 - რადგანაც ყველა პოზიციაზე 1-ანია, შემდეგ საფეხურზე იგი გადაიქცევა 0-ად და მარცხნიდან 1-ის ტოლი ახალი პოზიცია დაემატება
10 - პირველ პოზიციაზე 1-ანია, მეორეზე - 0, ამიტომ შემდეგ საფეხურზე ეს უკანასკნელი გადაიქცევა 1-ად, ხოლო პირველი პოზიცია უცვლელი დარჩება
11 - ორივე პოზიციაზე 1-ანებია, ამიტომ შემდეგ საფეხურზე ისინი 0-ებად იქცევა და მარცხნიდან 1-ის ტოლი ახალი პოზიცია დაემატება
100 - პირველ პოზიციაზე 1-ანია, მეორეზე და მესამეზე - 0-ები, ამიტომ შემდეგ საფეხურზე მარჯვენა განაპირა 0 გადაიქცევა 1-ად, ხოლო მეორე პოზიცია უცვლელი დარჩება
101 - შემდეგ საფეხურზე მეორე პოზიციის ჯერი დგება და ის გადაიქცევა 1-ად
111 - სამივე პოზიციაზე 1-ანებია, ამიტომ შემდეგ საფეხურზე ისინი 0-ებად იქცევა და მარცხნიდან 1-ის ტოლი ახალი პოზიცია დაემატება
1000 - პირველ პოზიციაზე 1-ანია, დანარჩენებზე - 0-ები, ამიტომ შემდეგ საფეხურზე მარჯვენა განაპირა 0 გადაიქცევა 1-ად
1001 - ...
... - ..

ორობითი რიცხვის გარდაქმნა ათობითში და პირიქით

თუ კარგად დავაკვირდებით, ნებისმიერი ათობითი რიცხვი შეიძლება წარმოდგინდეს ამ რიცხვის შემადგენელი ციფრების 10-ის ხარისხებზე ნამრავლთა ჯამის მეშვეობით, მაგალითად, რიცხვი 4516 დაიშლება შემდეგნაირად:

4516 = 4·103 + 5·102 + 1·101 + 6·100

ანუ, 10-ის ხარისხი ემთხვევა რიცხვში ციფრის პოზიციის ნომერს 'მინუს' 1. ანალოგიური პრინციპი მოქმედებს ორობითი რიცხვების გარდაქმნისას ათობითში, მხოლოდ ამ შემთხვევაში ფუძე 2-ის ტოლია. მაგალითად, ორობითი რიცხვი 1101012 წარმოდგინდება თვლის ათობით სისტემაში შემდეგნაირად (ინდექსი 2 მიუთითებს რიცხვის ორობით სახეს):

1101012 = 1·25 + 1·24 + 0·23 + 1·22 + 0·21 + 1·20 = 5310

ათობითი რიცხვის გარდასაქმნელად ორობითში, საჭიროა ეს რიცხვი მთელად გავყოთ 2-ზე და მიღებულ ნაშთს განვიხილავთ მისაღები ორობითი რიცხვის ბოლო პოზიციაზე, შემდეგ განაყოფი გავყოთ მთელად 2-ზე და მიღებულ ნაშთს განვიხილავთ მისაღები ორობითი რიცხვის ბოლოსწინა პოზიციაზე, და ა.შ. მანამ, სანამ განაყოფს არ მივიღებთ 0-ის ტოლს:
53 : 2 = 26 ნაშთი: 1
26 : 2 = 13 ნაშთი: 0
13 : 2 = 6 ნაშთი: 1
6 : 2 = 3 ნაშთი: 0
3 : 2 = 1 ნაშთი: 1
1 : 2 = 0 ნაშთი: 1

მივიღეთ ნაშთების შემდეგი მიმდევრობა : 1 0 1 0 1 1. თუ ამ მიმდევრობას განვალაგებთ მისაღები ორობითი რიცხვის პოზიციებზე ბოლოდან, მივიღებთ: 1101012

არითმეტიკა ორობით რიცხვებში

შეკრება

ეს ოპერაცია უმარტივესია ორობით არითმეტიკაში. იგი ეყრდნობა 4 ძირითად ტოლობას:
0 + 0 = 0
0 + 1 = 1
1 + 0 = 1
1 + 1 = 10

მათი გათვალისწინებით შეგვიძლია ქვეშმიწერით შევკრიბოთ (ათობითი რიცხვების მსგავსად) ნებისმიერი ორობითი რიცხვები, მაგალითად, 011012 და 101112:
1 1 1 1 1 (<- ვიმახსოვრებთ)
0 1 1 0 1
+ 1 0 1 1 1
------------------
1 0 0 1 0 0 (<- შედეგი)

გამოკლება

ძირითადი ტოლობებია:
0 − 0 = 0
0 − 1 = 1 (ვიმახსოვრებთ (-1)-ს)
1 − 0 = 1
1 − 1 = 0

მათი გათვალისწინებით შეგვიძლია ქვეშმიწერით გამოვაკლოთ (ათობითი რიცხვების მსგავსად) ნებისმიერი ორობითი რიცხვები, მაგალითად, 11011102 და 101112:
-1 -1 -1 -1 (<- ვიმახსოვრებთ)
1 1 0 1 1 1 0
- 1 0 1 1 1
-----------------------
1 0 1 0 1 1 1

გამრავლება
ძირითადი ტოლობებია:
0 • 0 = 0
0 • 1 = 0
1 • 0 = 0
1 • 1 = 1

მათი გათვალისწინებით შეგვიძლია ქვეშმიწერით გავამრავლოთ (ათობითი რიცხვების მსგავსად) ნებისმიერი ორობითი რიცხვები, მაგალითად, 10112 და 10102:
1 0 1 1 
× 1 0 1 0 
---------------
0 0 0 0 
+ 1 0 1 1 
+ 0 0 0 0 
+ 1 0 1 1 
------------------
1 1 0 1 1 1 0

გაყოფა

გაყოფა ორობით რიცხვებში ანალოგიურია გაყოფისა ათობით რიცხვებში. მაგალითად, გავყოთ 110112 (=2710) 1012 (=510) -ზე:
1 1 0 1 1 : 1 0 1 = 1 0 1
− 1 0 1
--------
0 1 1
− 0 0 0
-------
1 1 1
− 1 0 1
-------
1 0

როგორც ვხედავთ, გაყოფის პროცესი წარიმართა შემდეგნაირად: გასაყოფის პირველ სამ ციფრში 101 მოთავსდა ერთხელ, ნაშთი - 1. შემდეგ ჩამოვიტანეთ 1 გასაყოფიდან, მიღებულ რიცხვში 101 მოთავსდა 0-ჯერ, ნაშთი 11. კვლავ ჩამოვიტანეთ 1 და ამჯერად მასში 101 მოთავსდა ერთხელ. რამდენადაც გასაყოფიდან ჩამოსატანი ციფრები ამოიწურა, გაყოფას ვწყვეტთ. შედეგი შემდეგი სახისაა: განაყოფში მივიღეთ 101, ხოლო ნაშთში - 10. მართლაც, თუ ზემოხსენებულ ყველა ორობით რიცხვს გადავიყვანთ ათობითში, დავრწმუნდებით, რომ 2710 : 510 = 510 ნაშთი: 210